ความแตกต่างระหว่าง Dot Product และ Cross Product (พร้อมตาราง)

พีชคณิตเวกเตอร์เป็นส่วนสำคัญของฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ ช่วยลดความยุ่งยากในการคำนวณและช่วยในการวิเคราะห์แนวคิดเชิงพื้นที่ที่หลากหลาย เวกเตอร์คือปริมาณทางกายภาพที่มีทั้งขนาดและทิศทาง คู่ขนานของมันคือปริมาณสเกลาร์ที่มีเพียงขนาดแต่ไม่มีทิศทาง

เวกเตอร์สามารถจัดการได้โดยใช้การดำเนินการพื้นฐานสองอย่าง การดำเนินการเหล่านี้คือดอทโปรดัคและผลคูณระหว่างกัน และมีความแตกต่างกันอย่างมาก

Dot Product เทียบกับ Cross Product

ความแตกต่างระหว่างดอทโปรดัคและผลคูณไขว้ของเวกเตอร์สองตัวคือ ผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์ดอทเป็นปริมาณสเกลาร์ ในขณะที่ผลลัพธ์ของผลคูณไขว้คือปริมาณเวกเตอร์

ผลคูณดอทของเวกเตอร์สองตัวเรียกอีกอย่างว่าผลคูณสเกลาร์ เป็นผลคูณของขนาดของเวกเตอร์ทั้งสองและโคไซน์ของมุมที่พวกมันก่อรูปเข้าด้วยกัน

ผลคูณของเวกเตอร์สองตัวเรียกอีกอย่างว่าผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ เป็นผลคูณของขนาดของเวกเตอร์ทั้งสองและไซน์ของมุมที่พวกมันก่อตัวเข้าด้วยกัน

ตารางเปรียบเทียบระหว่าง Dot Product และ Cross Product (ในรูปแบบตาราง)

พารามิเตอร์ของการเปรียบเทียบ	สินค้าดอท	ข้ามผลิตภัณฑ์
ความหมายทั่วไป	ผลคูณดอทเป็นผลคูณของขนาดของเวกเตอร์และ cos ของมุมระหว่างพวกมัน	ผลคูณไขว้เป็นผลคูณของขนาดของเวกเตอร์และไซน์ของมุมที่พวกมันอยู่ใต้กันและกัน
ความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์	ผลคูณดอทของเวกเตอร์สองตัว A และ B แสดงเป็น: Α.Β = ΑΒ cos θ	ผลคูณของเวกเตอร์สองตัว A และ B แสดงเป็น: Α × Β = ΑΒ บาป θ
ผลลัพธ์	ผลลัพธ์ของดอทโปรดัคของเวกเตอร์คือปริมาณสเกลาร์	ผลลัพธ์ของผลคูณไขว้ของเวกเตอร์คือปริมาณเวกเตอร์
การวางแนวของเวกเตอร์	ผลคูณดอทเป็นศูนย์เมื่อเวกเตอร์เป็นมุมฉาก (θ = 90°)	ผลคูณไขว้มีค่าสูงสุดเมื่อเวกเตอร์เป็นมุมฉาก (θ = 90°)
การสับเปลี่ยน	ผลคูณดอทของเวกเตอร์สองตัวเป็นไปตามกฎการสับเปลี่ยน: A. B = B. A	ผลคูณของเวกเตอร์สองตัวไม่เป็นไปตามกฎการสับเปลี่ยน: A × B ≠ B × A

Dot Product คืออะไร?

ผลคูณดอทหรือผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวเป็นผลคูณของขนาดและโคไซน์ของมุมที่ลดทอนด้วยเวกเตอร์ตัวหนึ่งทับอีกตัวหนึ่ง เรียกอีกอย่างว่าผลิตภัณฑ์ภายในหรือผลิตภัณฑ์ฉายภาพ

มันถูกแสดงเป็น:

A·Β = |A| |B| คอส θ

ผลที่ได้คือปริมาณสเกลาร์ จึงมีเพียงขนาดแต่ไม่มีทิศทาง

เราใช้โคไซน์ของมุมในการคำนวณผลคูณดอทเพื่อให้เวกเตอร์อยู่ในแนวเดียวกัน ด้วยวิธีนี้ เราจะได้เส้นโครงของเวกเตอร์ตัวหนึ่งทับอีกตัวหนึ่ง

สำหรับเวกเตอร์ที่มีขนาด n ดอทโปรดัค กำหนดโดย:

อ·Β = Σ α¡b¡

ผลิตภัณฑ์ดอทมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

Α· b = b·α

Α· (b+c) = α·b + α·c

(λα) · (μb) = λμ (α· b)

ผลิตภัณฑ์ dot มีการใช้งานดังต่อไปนี้:

ใช้เพื่อค้นหาการฉายภาพของจุดบนระนาบเมื่อทราบพิกัด

ครอส โปรดักส์ คืออะไร?

ผลคูณไขว้หรือผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวเป็นผลคูณของขนาดและไซน์ของมุมที่ลดทอนด้วยอันหนึ่งทับอีกอันหนึ่ง เรียกอีกอย่างว่าผลิตภัณฑ์พื้นที่กำกับ

มันถูกแสดงเป็น:

A×Β = |A| |B| บาป θ

ผลลัพธ์คือปริมาณเวกเตอร์อื่น เวกเตอร์ผลลัพธ์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งคู่ ทิศทางของมันสามารถกำหนดได้โดยใช้กฎมือขวา

กฎต่อไปนี้จะต้องจำไว้ในขณะที่คำนวณผลคูณ:

โดยที่ I, j และ k คือเวกเตอร์หน่วยในทิศทาง x, y และ z ตามลำดับ

ครอสผลิตภัณฑ์มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

a× b = – (b × α)

a × (b+c) = α × b + α × c

(λα) × (b) = λ (α × b)

ผลิตภัณฑ์ข้ามมีการใช้งานดังต่อไปนี้:

ความแตกต่างหลักระหว่าง Dot Product และ Cross Product

ผลคูณดอทและผลคูณช่วยคำนวณในพีชคณิตเวกเตอร์ พวกเขามีการใช้งานที่แตกต่างกันและความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกัน

ความแตกต่างหลักระหว่างทั้งสองคือ:

บทสรุป

พีชคณิตเวกเตอร์มีประโยชน์อย่างมากในวิชาคณิตศาสตร์ต่างๆ การใช้งานเป็นเรื่องปกติมากในเรขาคณิตและแม่เหล็กไฟฟ้า ผลคูณดอทและผลคูณของเวกเตอร์เป็นการดำเนินการพื้นฐานในพีชคณิตเวกเตอร์ มีหลายแอพพลิเคชั่น ผลิตภัณฑ์ดอทคำนวณปริมาณสเกลาร์ ปริมาณนี้โดยทั่วไปคือระยะทางหรือความยาว

ผลคูณคำนวณปริมาณเวกเตอร์ เราก็ได้เวกเตอร์อีกตัวในอวกาศ เราสามารถดำเนินการต่างๆ เช่น การบวก การลบ และการคูณเวกเตอร์ การกระจัด ความเร็ว และความเร่งเป็นพาหะทั่วไปในวิชาฟิสิกส์

แนวคิดของเวกเตอร์พัฒนาขึ้นเมื่อ 200 ปีที่แล้ว ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา ความเจริญรุ่งเรืองจากการมีส่วนร่วมของนักคณิตศาสตร์และนักวิทยาศาสตร์หลายคน