อนุพันธ์อยู่ในสมการเชิงอนุพันธ์ แสดงถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร เมื่อตัวแปรอิสระเปลี่ยนแปลง จะต้องสังเกตการเปลี่ยนแปลงที่สอดคล้องกันที่เกิดขึ้นในตัวแปรตาม อนุพันธ์หมายถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงนี้โดยศึกษาความชันของฟังก์ชันบนกราฟ
ดิฟเฟอเรนเชียล vs อนุพันธ์
ความแตกต่างระหว่างดิฟเฟอเรนเชียลและอนุพันธ์นั้นอยู่ในเงื่อนไขของฟังก์ชันที่แต่ละอันดำเนินการและค่าที่แต่ละค่าแทน ดิฟเฟอเรนเชียลเป็นตัวแทนของความแตกต่างที่น้อยที่สุดในปริมาณที่แปรผันได้เหมือนกับพื้นที่ของร่างกาย ช่วยให้สามารถคำนวณความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอิสระและตัวแปรตามในสมการได้
ตารางเปรียบเทียบระหว่างดิฟเฟอเรนเชียลและอนุพันธ์
| พารามิเตอร์ของการเปรียบเทียบ | ดิฟเฟอเรนเชียล | อนุพันธ์ |
| คำนิยาม | ดิฟเฟอเรนเชียลแสดงถึงความแตกต่างที่น้อยที่สุดในปริมาณที่แปรผันได้ | อนุพันธ์แทนอัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรในสมการเชิงอนุพันธ์ |
| คำนวณความแตกต่าง | คำนวณความแตกต่างเชิงเส้น | คำนวณความชันของกราฟ ณ จุดใดจุดหนึ่ง |
| ความสัมพันธ์ | สมการเชิงอนุพันธ์ใช้อนุพันธ์เพื่อหาคำตอบสุดท้าย อนุพันธ์อยู่ในสมการเชิงอนุพันธ์ | อนุพันธ์หมายถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรตามเทียบกับตัวแปรอิสระ |
| ความหมายแฝงในการทำงาน | ไม่ทราบความหมายแฝงระหว่างตัวแปร | ทราบความหมายแฝงการทำงานระหว่างตัวแปร |
| แสดงโดย | สมการเชิงอนุพันธ์แสดงโดยหลายสูตร ตัวที่นิยมใช้กันทั่วไปคือ dy/dx = f(x) | มีอนุพันธ์หลายระดับพร้อมสูตรการแสดงที่หลากหลาย การแสดงสูตรอนุพันธ์ที่ใช้บ่อยที่สุดคือ: d /dx |
ดิฟเฟอเรนเชียลคืออะไร?
ในฐานะที่เป็นสาขาย่อยของแคลคูลัส สมการเชิงอนุพันธ์แสดงถึงความแตกต่างเพียงเล็กน้อยในปริมาณที่ผันผวนบางอย่าง สมการเชิงอนุพันธ์ประกอบด้วยอนุพันธ์และหน้าที่ของพวกมัน ดิฟเฟอเรนเชียลวัดวิถีโคจรเชิงเส้นของการเปลี่ยนแปลงในตัวแปรตามอันเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลงปริมาณของตัวแปรอิสระ
มีสมการเชิงอนุพันธ์หลายประเภทซึ่งมีลำดับและระดับความซับซ้อนทางคณิตศาสตร์ต่างกัน สมการเชิงอนุพันธ์ใช้เพื่ออธิบายการเคลื่อนที่ของคลื่นความร้อน การเปลี่ยนแปลงของจำนวนประชากร การสลายของวัสดุกัมมันตภาพรังสี การเคลื่อนที่ของกระแสไฟฟ้า การเคลื่อนที่ของลูกตุ้ม เป็นต้น
สมการเชิงอนุพันธ์โดยพื้นฐานหมายถึงความสัมพันธ์ระหว่างสองตัวแปร โดยที่การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรหนึ่งจะถูกกระตุ้นโดยการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นในอีกตัวแปรหนึ่ง เป็นเครื่องมือระเบียบวิธีที่ใช้ในการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน จึงเป็นสมการแทน สมการเชิงอนุพันธ์มักแสดงเป็น:
โดยที่ b คือตัวแปรตามและตัวแปรอิสระ
อนุพันธ์คืออะไร?
ในแง่ที่ง่ายที่สุด อนุพันธ์หมายถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร เมื่อการเปลี่ยนแปลงถูกบันทึกในตัวแปรอิสระและการเปลี่ยนแปลงที่สอดคล้องกันจะถูกสร้างขึ้นในตัวแปรตาม ดังนั้นจึงเน้นถึงการเปลี่ยนแปลงในผลลัพธ์เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงค่าอินพุต
อนุพันธ์มักใช้กับสมการเชิงอนุพันธ์ ดิฟเฟอเรนติเอชันเป็นกระบวนการที่ใช้ในการหาอนุพันธ์ ใช้เพื่อแสดงถึงความชันของเส้นสัมผัส ภายในระยะเวลาที่กำหนด อนุพันธ์จะวัดความชันของความชันของฟังก์ชัน
เช่นเดียวกับดิฟเฟอเรนเชียล อนุพันธ์สามารถจัดเป็นอนุพันธ์อันดับหนึ่งและอันดับสองได้ ในขณะที่อดีตสามารถทำนายได้โดยตรงจากความชันของเส้น แต่ส่วนหลังคำนึงถึงความเว้าของกราฟด้วย
พวกเขาเป็นส่วนสำคัญของการคำนวณทางคณิตศาสตร์ บ่อยครั้งที่ความชันแสดงเป็น:
d/dx
ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์ถูกกำหนดให้เป็นอัตราการเปลี่ยนแปลงของ b เทียบกับ a ความสัมพันธ์นี้แสดงเป็น b= f(a) โดยที่ b เป็นฟังก์ชันของ a ค่าของฟังก์ชันนี้จะสร้างความชันของ f(a) นักวิจัยทางวิทยาศาสตร์มักใช้อนุพันธ์อนุพันธ์ในสมการเชิงอนุพันธ์เพื่อวัดการเปลี่ยนแปลงในมูลค่าของตัวแปร เพื่อให้สามารถทำนายพฤติกรรมของระบบที่เปลี่ยนแปลงได้อย่างชัดเจน
ความแตกต่างหลักระหว่างดิฟเฟอเรนเชียลและอนุพันธ์
- ความแตกต่างที่สำคัญระหว่างดิฟเฟอเรนเชียลและอนุพันธ์คือในแง่ของคำจำกัดความซึ่งส่งผลต่อการทำงานในขอบเขตทางคณิตศาสตร์ อดีตคือโดเมนย่อยของแคลคูลัสที่แสดงถึงความแตกต่างเล็กน้อยในปริมาณที่ผันผวนบางอย่าง ในทางกลับกัน อนุพันธ์หมายถึงการเปลี่ยนแปลงของค่าเอาต์พุตเนื่องจากการเปลี่ยนแปลงที่สอดคล้องกันในค่าอินพุต มันหมายถึงอัตราของการเปลี่ยนแปลงนี้
- สมการอนุพันธ์มีอนุพันธ์หรือฟังก์ชันของอนุพันธ์ ในขณะที่อนุพันธ์หมายถึงการเปลี่ยนแปลงทันทีที่เกิดขึ้นกับการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรอิสระที่สร้างการเปลี่ยนแปลงที่สอดคล้องกันในค่าของตัวแปรตาม
- ความหมายแฝงเชิงฟังก์ชันระหว่างตัวแปรตามและตัวแปรอิสระเป็นที่รู้จักในกรณีของอนุพันธ์และไม่ทราบในกรณีของดิฟเฟอเรนเชียล นี่แสดงถึงความแตกต่างที่สำคัญอีกประการระหว่างแนวคิดทางคณิตศาสตร์ทั้งสอง
- สูตรของสมการเชิงอนุพันธ์และอนุพันธ์ก็มีความแตกต่างกันอย่างมีนัยสำคัญ dy/dx = f(x) แทนค่าเดิม โดยที่ y เป็นตัวอ้างอิง และ x ตัวแปรอิสระ อนุพันธ์แสดงโดย d/dx
- ดิฟเฟอเรนเชียลแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงมูลค่าที่แท้จริงผ่านแผนที่เชิงเส้น ในขณะที่อนุพันธ์แสดงถึงการเปลี่ยนแปลงเดียวกันผ่านแผนที่ความชัน อนุพันธ์จะคำนวณความชันของฟังก์ชันบนกราฟ ณ จุดใดเวลาหนึ่ง
บทสรุป
ทั้งดิฟเฟอเรนเชียลและอนุพันธ์เป็นแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญซึ่งขาดไม่ได้ในการประยุกต์ใช้และการศึกษาปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน ทั้งคู่มักใช้ร่วมกันและมักตีความผิดได้ หากความหมายหรือหน้าที่ยังไม่ชัดเจน
ความแตกต่างระหว่างแนวคิดทั้งสองมีน้อยแต่ในขณะเดียวกันก็สำคัญที่ต้องรับรู้ แนวคิดทั้งสองต่างกันในแง่ของการใช้งานและการใช้งานในสมการ ในขณะที่สมการเชิงอนุพันธ์ประกอบด้วยอนุพันธ์หรือฟังก์ชันของอนุพันธ์ อนุพันธ์เป็นตัววัดการเปลี่ยนแปลงทันทีที่เกิดขึ้นในตัวแปรตามที่ถูกกระตุ้นโดยการเปลี่ยนแปลงที่สอดคล้องกันในตัวแปรอิสระ
ดิฟเฟอเรนเชียลเป็นตัวแทนของความสัมพันธ์ที่มีอยู่ระหว่างสองตัวแปร พวกเขาใช้อนุพันธ์เพื่อกำหนดความสัมพันธ์นี้อย่างชัดเจนและวัดการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อย
การเป็นตัวแทนของแต่ละคนแตกต่างกันอย่างมาก นอกจากนี้ ดิฟเฟอเรนเชียลแมปการเปลี่ยนแปลงมูลค่าจริงผ่านการแมปเชิงเส้นในขณะที่อนุพันธ์แมปความชันของการเปลี่ยนแปลง แต่ละแนวคิดยังรวมเอารูปแบบตัวแปรที่สำคัญไว้ด้วย
อ้างอิง
- https://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/8579172/
- https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.4169/074683410X480195
